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 Article tiré de la revue Electronique Pratique Novembre 1994. Auteur : F. JONGBLOET.

Sommaire :

Filtrage analogique
Rôle et caractéristique d'un filtre
Les différents types de filtres

   
   Pour bien comprendre le rôle d'un filtre dans un système électronique, il faut garder présent à l'esprit le fait que ceux-ci agissent sur des signaux électriques (tensions et/ou courants) dont ils vont modifier certaines caractéristiques.
 

  I - filtrage analogique

  Nous raisonnerons dans la suite de cet exposé sur des tensions, mais toutes les notions abordées pourront être étendues aux courants sans aucun problème. Etant donné qu'un filtre agit sur le spectre des signaux qui lui sont appliqués, nous commencerons par définir cette notion, ce qui nous conduira à distinguer les signaux périodiques de ceux qui ne le sont pas.

      1 ° Spectre d'un signal périodique :

 Tout signal périodique v(t) de période T, fréquence f = 1/T (pulsation w = 6,28 f), possédant un nombre fini d'extréma et de discontinuités (conditions dites de Diriclet), est décomposable en une somme de fonctions sinusoïdal qui prend le nom de série de Fourier, du nom du mathématicien qui s'est occupé de cette analyse.

Figure 1 : Décomposition d'un signal en série de Fourrier

  La décomposition en série de Fourier d'un signal carré ne comporte pas d'harmoniques de rang pair ni de termes en cosinus, ce qui peut se justifier très simplement en remarquant que le signal étudié est impair [ v(t) = - v(-t) ] et que, de plus, [ v(t + T/2) = - v(t) ].
  On remarque en outre que la valeur moyenne est nulle et que les amplitudes des différents termes de la décomposition en série de Fourier (que l'on appelle aussi des raies du spectre) ont des amplitudes qui décroissent en 1/n, avec n, le rang de l'harmonique.
  La représentation graphique donnant l'amplitude de chacun des termes de la décomposition en série de Fourier en fonction de la fréquence (fig.2) s'appelle un spectre d'amplitude. Les fréquences présentes dans ce spectre sont parfois, appelées composantes spectrales et plus simplement "raies", par analogie avec le domaine de l'optique. Le mode de décroissance de l'amplitude des composantes spectrales d'un signal avec le rang de l'harmonique considéré est très utile pour définir les caractéristiques des filtres utilisés.

Figure 2 : Amplitude du signal de la figure 1

  On sait, par exemple, que les harmoniques d'un signal carré ont des amplitudes qui varient en 1/n alors que celles d'un signal triangulaire varient en 1/n². II résulte de cette propriété qu'un amplificateur destiné à transmettre des signaux carrés devra avoir une bande passante plus large que pour des signaux triangulaires, l'amplitude des harmoniques de rang élevé étant plus faible (donc négligeable) avec des signaux triangulaires qu’avec des signaux carrés.
 

     2° Spectre d’un signal apériodique :

 On trouve dans cette classification tous les signaux non périodiques dont les plus représentatifs, surtout en ce qui concerne le domaine électronique, sont l'impulsion, l'échelon et la rampe. La figure 3 donne la représentation en fonction du temps de ces trois signaux que l'on utilise couramment pour étudier la réponse des systèmes électroniques, qu'il s'agisse d'asservissements ou plus simplement d'amplificateurs.

Figure 3 : Représentation en fonction du temps
 

  Pour de tels signaux v(t), et à condition qu'ils soient d'amplitude finie et d'intégrale finie sur l'intervalle de moins l'infini à plus l'infini, si ceux-ci possèdent un nombre fini d'extréma et de discontinuités, il est possible de définir non plus une série de Fourier.

  L’expression v(t) est la transformée de Fourrier de la fonction v(t) que l’on appelle aussi "densité spectrale de v(f)". Cette grandeur étant généralement une fonction complexe puisque la variable "j" figure dans le terme exponentiel, il est courant de ne considérer que le module de V(f), que nous noterons , qui représente la densité spectrale d'amplitude de v(t).

  La figure 4 donne le résultat des calculs concernant le signal de la figure 4a qui est un créneau d'amplitude unitaire apparaissant entre les instants -T et T, la figure 4b représente la densité spectrale d'amplitude de ce même signal. Contrairement aux signaux périodiques, le spectre est continu, toutes les fréquences sont présentes. Le calcul montre que pour ce type de signal la courbe enveloppe définissant la densité spectrale de chaque raie est une fonction en (sin X) / X.

Figure 4a : Impulsion unitaire
 

Figure 4b : Densité spectrale d'amplitude de m'impulsion unitaire

  Nous avons tenu à introduire ces points particuliers afin que le lecteur soit conscient des différentes caractéristiques qui existent entre les spectres des signaux périodiques et apériodiques, ces notions n'étant que très rarement abordées, car elles nécessitent des développements mathématiques assez conséquents qui sortiraient du cadre de la revue.

  II- Rôle et caractéristiques d'un filtre :

       1° Rôle :

  Le rôle essentiel d'un filtre consiste à modifier le spectre des signaux qui vont y transiter afin d'obtenir des caractéristiques particulières. Citons, par exemple, le cas des filtres qualifiés de correcteurs, qui amplifient les signaux de fréquences basses et laissent passer les signaux de fréquences élevées sans les modifier, afin de pallier à la déficience des haut-parleurs dans le domaine des basses fréquences.
   Bien que le filtrage concerne principalement l'amplitude des signaux, les filtres ne se contentent pas d'agir sur l'amplitude des signaux, leur action s'exerce aussi sur la phase. Si l'on n'y prend pas garde, cette seconde action peut être catastrophique sur le plan des résultats obtenus, comme nous le verrons un peu plus loin dans cet exposé.
  C'est pour cette raison qu'un filtre doit être caractérisé par deux courbes représentant respectivement l'action du filtre sur l'amplitude et sur la phase des signaux.

      2° Caractéristiques :

  Le signal d'entrée ve(t) du filtre de la figure 5 est supposé sinusoïdal. Son expression mathématique est ve(t) = Ve sin wt = Ve . sin (6,28 f). Le signal présent à la sortie du filtre est
. Le filtre ne modifiant pas la fréquence du signal, ve et vs ont la même pulsation w = 6,28 f.

Figure 5 : Fonctions d'un filtre en entrée - sortie

  En revanche, l'amplitude Ve est devenue Vs, et la phase (wt) de ve à l'instant « t » est devenue
, du fait du passage du signal dans le filtre.
  Pour caractériser l'effet du filtre sur le signal de fréquence f, on s'intéresse au rapport des amplitudes des signaux vs(t) et ve(t) que l'on note |T| = Vs/Ve, qui est un nombre sans dimension.
  Comme ce rapport varie avec la fréquence, on le note parfois |T (f)| ou  |T(w)|.

  En ce qui concerne l'effet du filtre sur la phase des signaux, celle-ci est caractérisée par la différence de phase existant entre vs(t) et ve(t) à un même instant. On note cet effet par (lire argument), quantité qui dépend elle aussi de la fréquence f. L'association des deux grandeurs |T| et , que l'on note , est appelée fonction de transfert du filtre. Dans de nombreuses situations, il est intéressant de faire appel à la notion de gain définit par : G = 20 log (|T|). Celui-ci s'exprime en décibels, dB en abrégé.
  Afin de préciser le comportement des filtres en fonction de la fréquence, plusieurs représentations auxquelles on donne le nom de diagrammes sont à la disposition des utilisateurs.
 

         Diagramme de Bode :

  II s'agit de la courbe qui représente les variations du gain du filtre (ou de tout montage en général) en fonction de la fréquence ou de la pulsation.
  On note cette fonction G = h(f). La figure 6b correspond à celui du filtre R-C de la figure 6a.   Généralement, le domaine dans lequel le filtre doit agir étant assez important, on utilise pour les fréquences une échelle logarithmique. Ce choix permet de condenser les résultats mais aussi de ne laisser aucun domaine dans l'oubli, ce qu'une échelle linéaire ne permettrait pas.

Figure 6a : Filtre passe-bas à éléments RC

Figure 6b : Diagramme de bode du gain

  On remarque que la courbe obtenue peut être approximée par deux droites que l'on appelle des asymptotes. Leur point de concours correspond à la fréquence de coupure "fo" du filtre. C'est pour cette fréquence que la courbe réelle du filtre est la plus éloignée de ces asymptotes, l'écart vaut ici
- 3 dB. La forme de la courbe renseigne de façon évidente sur les caractéristiques du filtre.
  On note sur la figure 6b que les fréquences élevées sont atténuées (G donc |T| diminue), alors que pour les fréquences basses, G = 0 dB, ce qui signifie que les amplitudes de ve et de vs sont égales, donc que les signaux ne subissent aucune modification pour ces fréquences. Nous sommes en présence d'un filtre passe-bas.
 

         Diagramme de Bode de la phase

   II s'agit, toujours pour le même filtre de la courbe qui donne les variations de (F en fonction de f (ou w). L'échelle des fréquences est encore logarithmique (pour les mêmes raisons). La figure 6c montre que pour les fréquences basses, le déphasage introduit par le filtre est nul, qu'il tend vers
(- 90°) quand f augmente.

Figure 6c : Diagramme de bode de la phase

  On remarque, ici encore, qu'il est possible de tracer des asymptotes qui rendent compte du comportement du filtre de façon grossière, mais assez explicite toutefois, tant pour les fréquences basses que pour les plus élevées. Pour la fréquence de coupure fo, le déphasage introduit par le filtre étudié vaut - 45°.
  Grâce aux diagrammes de Bode dont nous venons de vous donner un exemple succinct, il est possible de connaître avec précision l'action du filtre sur les différents signaux qu'il sera amené à traiter.

        Diagramme de Black

  La figure 6d propose celui-ci toujours pour le filtre de la figure 6a. Pour le tracer, on représente pour chaque fréquence la valeur du gain G du filtre en fonction du déphasage qu'il introduit à cette même fréquence. Bien qu'une seule et même courbe soit suffisante pour disposer simultanément de la valeur du gain et de la phase, l'interprétation est moins aisée qu'avec les diagrammes de Bode.

Figure 6d : Diagramme de Black
 

       Diagramme de Nyquist

La notation mathématique que nous avons utilisée pour la fonction de transfert du filtre peut s'interpréter comme un vecteur dont |T| représente la longueur et ( l'angle existant entre ce vecteur et l'axe horizontal qui sert de référence (fig. 7). Pour chaque valeur de la fréquence, la longueur et la position du vecteur se modifient. Si l'on joint les extrémités de tous les vecteurs représentatifs de T, on obtient une courbe que l'on appelle diagramme de Nyquist. Pour s'y retrouver, il faut que le diagramme soit gradué en fréquence (fig.6e).
  Comme pour le diagramme de Black, celui de Nyquist fournit sur une seule représentation les valeurs du module et de la phase de T.
  Certains vont se demander à quoi peuvent bien servir ces diverses représentations qui n'apportent en apparence pas plus de renseignements l'une que l'autre.
  Suivant le domaine d'application, certains diagrammes sont plus commodes à employer que les autres, aussi devra-t-on connaître chacun et utiliser le plus approprié suivant l'application envisagée.
  En ce qui concerne le filtrage proprement dit, nous utiliserons essentiellement les diagrammes de Bode qui, par leurs formes (surtout celle du gain), indique immédiatement la nature du filtre avec lequel on est confronté.

Figure 6e : Diagramme de Nyquist

Figure 7 : L'angle de phase

   3° Importance du déphasage

  En partant de l'expression qui représente la tension de sortie d'un circuit électrique quelconque, expression que l'on peut aussi mettre sous la forme avec , nous voyons qu'un signal de fréquence f qui traverse un circuit électrique sort de celui-ci avec un retard de valeur qui dépend de la pulsation w du signal.
  Si nous supposons maintenant que deux signaux de fréquences f1, et f2 (pulsations respectives wl et w2) sont appliqués simultanément à l'entrée de ce même étage, il est évident que les temps de transit respectifs seront et .
  Réfléchissons un instant et posons-nous la question de savoir ce qui se passerait si les temps de transit , et étaient différents. Pour aider à la compréhension du phénomène, nous pouvons imaginer que deux instruments de musique émettent simultanément deux notes formant un accord.

  L'inégalité des durées et correspondrait à la sortie des notes à des instants différents, ce qui, avouons le, risquerait de donner une belle cacophonie et n'est pas le but recherché.
  Afin d'assurer un temps de transit identique pour toutes les fréquences, il faut respecter la condition . Cette condition impose que la courbe soit une droite comme celle de la figure 8 (l'échelle utilisée pour les fréquences doit être linéaire). Les filtres ou, plus généralement, les montages qui vérifient cette condition sont qualifiés de montages à phase linéaire.

Figure 8 : Filtre à phase linéaire

  II est évident que les amplificateurs HiFi doivent posséder cette propriété, sinon ils introduisent ce que l'on nomme de la distorsion de phase.
  Comme vous pouvez le constater, le déphasage introduit par un filtre est une notion tout aussi importante, de par ces effets, que celle introduite sur l'amplitude des signaux. Néanmoins, on s'intéresse beaucoup plus souvent à l'aspect amplitude qu'à l'aspect phase, attitude que nous essayerons de corriger quand nous aborderons l'étude détaillée des filtres.
  Maintenant que nous connaissons les effets des filtres sur les signaux, nous allons vous présenter les différents types de filtres.

   III- Les différents types de filtres:

  La diversité des filtres, de leur domaines d'application, de leurs performances sont autant de facteurs qui font qu'il n'est pas possible de donner une seule classification pour ceux-ci.
 

    Classement suivant l'action sur le spectre :

  On peut effectivement classer les filtres suivant leur façon d'agir sur un domaine particulier de fréquences. On rencontre ainsi quatre structures fondamentales: les filtres de type passe-bas, passe-haut, passe-bande ou réjecteur dont le nom est suffisamment évocateur pour qu'on en comprenne le sens. L'allure des courbes de gains de ces filtres est donnée à la figure 9 (a,b,c,d).

Figure 9a : Le filtre passe-bas
 

Figure 9b : Le filtre passe-haut
 

Filtre 9c : Le filtre passe bande

Figure 9d : Le filtre réjecteur
 

    Classement suivant l'efficacité :

  On peut classer les filtres suivant leur "force", car il n'existe pas un seul type de filtre passe-bas mais plusieurs, auxquels on attribue un "ordre" d'autant plus élevé que leur atténuation dans la zone atténuée est plus importante (et (ou) plus rapide). Cette remarque vaut aussi pour les passe-haut, passe-bande et réjecteurs.
  On trouve donc des filtres d'ordre 1, 2 et même beaucoup plus (3... 7, 9, etc.). La figure 10 donne l'aspect de la courbe de gain des filtres passe-bas d'ordre 1, 2, 3.

Figure 10 : Filtre passe-bas d'ordres différent
 

    Classement suivant le matériel utilisé :

  On appelle filtre passif, un filtre dans lequel n'interviennent que des composants R, L, C. Pour ceux qui utilisent des AOP ou des transistors, on les qualifie de filtres actifs.
  Les filtres passifs sont utilisés aussi bien en BF (filtres pour enceintes acoustiques, par exemple) qu'en HF (passe-bande en général). L'avantage de ces filtres est qu'ils sont rarement limités au niveau de l'amplitude des signaux traités, ce qui n'est pas le cas des filtres actifs.
  Le domaine d'activité des filtres actifs, qui se sont énormément développés avec l'utilisation des AOP, va du continu à plusieurs mégahertz. De nombreuses familles de filtres aux propriétés multiples et variées sont apparues grâce aux AOP.
 

    Classement suivant le domaine d'application :

  En HiFi, on trouve les correcteurs, les égaliseurs dont la technologie fait généralement intervenir des AOP et qui, de ce fait, en font des filtres actifs.
  Pour ce qui concerne les asservissements, les filtres utilisés ont pour rôle d'améliorer la précision et (ou) la stabilité, d'où leur nom de correcteurs.
  En domotique, les filtres sont tout aussi présents que dans les autres domaines puisqu'on rencontre ceux-ci sur les lignes d'alimentation des variateurs électroniques de vitesse ou sur celles des gradateurs pour l'éclairage. Dans ces applications, on s'arrange généralement pour éliminer les harmoniques dus aux découpages des sinusoïdes secteur.
  En HF, et en particulier pour les émetteurs dont la puissance commence à devenir importante, on utilise fréquemment des filtres réjecteurs destinés à supprimer d'éventuels harmoniques dont la présence pourrait perturber une bande de fréquence sur laquelle l'émetteur ne doit absolument pas se trouver.
  Ce classement, qui permet en fait de répertorier les domaines d'application des filtres, n'est qu'indicatif, mais suffisamment évocateur pour qu'on entrevoit l'intérêt que présente ce domaine particulier de l'électronique.
  Les filtres numériques que l'on rencontre de plus en plus fréquemment dans les nouveaux systèmes comme les lecteurs de CD feront l'objet d'un article.

 Article tiré de la revue Electronique Pratique Novembre 1994. Auteur : F. JONGBLOET.